Analyse fonctionnelle/Functional Analysis Probabilités/Probability Theory Lower estimates for the singular values of random matrices

Let Γ be an n×n matrix, whose entries are independent identically distributed (i.i.d.) random variables satisfying the subgaussian tail estimate. We obtain polynomial type lower estimates of the singular numbers of Γ, which hold with probability close to 1. We also show that if A is an N × n matrix with N > n, whose entries are i.i.d. subgaussian random variables, then with high probability the space E = AR satisfies the conditions of Kashin’s theorem, i.e. the `2 and `1 norms are equivalent on E. Moreover the distance between these norms polynomially depends on δ = (N − n)/n. Résumé Minorations des valeurs singulières de matrices aléatoires. Soit Γ une matrice n× n, ayant pour coefficients des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) vérifiant une décroissance sous-gaussienne des queues. Dans ce travail, nous obtenons des minorations de type polynomial des valeurs singulières de Γ, valables avec une probabilité proche de 1. Nous montrons aussi que si A est une matrice N × n avec N > n, dont les coefficients sont des variables aléatoires sous-gaussiennes i.i.d., alors l’espace E = AR vérifie avec une grande probablilité les conditions du théorème de Kashin, c’est à dire les normes `2 et ` N 1 sont équivalentes sur E. De plus la distance entre ces normes dépend polynomialement de δ = (N − n)/n. Version française abrégée Soit N ≥ n et soit A une matrice N × n ayant pour coefficients des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Nous supposons que les coefficients ont pour moyenne 0 et vérifient une décroissance sous-gaussienne des queues. Plus précisément, une variable aléatoire β est dite sous-gaussienne si pour tout t > 0, P (|β| > t) ≤ b1 exp(−b2t). Ici et dans la suite, C, C ′, c etc. désignent des constantes qui dependent seulement des valeurs b1, b2, dont la valeur peut changer d’une ligne à l’autre. La classe des variables aléatoires sous-gaussiennes contient plusieurs types de variables qui apparaissent de façon naturelle dans les applications, comme les variables normales, les variables de Bernoulli etc. Notons par sk(A) la kème valeur singulière de la matrice A, c’est à dire la kème plus grande valeur propre de la matrice (AA∗)1/2. Pour les matrices à coefficient des variables aléatoires sous-gaussiennes, la première valeur singulière s1(A) = ‖A‖ est fortement concentrée autour de (1+ √ α) ·√N , où α = n/N , voir [3]. Estimer la plus petite valeur singulière sn(A) est un problème beaucoup plus délicat. Dans [2] Bai et Yin ont montré que si on considère une suite An de matrices aléatoires de taille N×n, où n →∞ pendant que α = n/N < 1 reste constant, alors la plus petite valeur singulière de An/ √ N converge presque sûrement vers 1−√α. Cependant, ce résultat ne donne pas d’estimations pour N et n fixés. L’article [7] contient des estimations pour sn(A) dans le cas où δ = (N − n)/n ≥ 1/ log n, mais celles-ci dépendent 1The research is partially supported by the NSF Grant DMS-0245380.